สมการของแบร์นูลลี

จากสมการของความต่อเนื่อง อัตราเร็วของการไหล สามารถเปลี่ยนแปลง ได้ตามเส้นทางการไหล ความดันก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้เช่นกัน ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความสูง (หรือความลึก) เช่นเดียวกันกับในของไหลสถิต และความดันก็ขึ้นอยู่กับอัตราเร็วของการไหลด้วย เราจะหาความสัมพันธ์ระหว่างความดัน อัตราเร็วของการไหลและความสูง สำหรับของไหลอุดมคติที่บีบอัดไม่ได้ (ideal and incompressible fluid) และการไหลเป็นแบบ steady flow

จาก สมการของความต่อเนื่อง เมื่อมีของไหลที่บีบอัดไม่ได้ไหลอยู่ภายในท่อ ซึ่งมีขนาดของพื้นที่หน้าตัดแต่ละบริเวณเปลี่ยนแปลงไป อัตราเร็วของการไหล ก็จะเปลี่ยนแปลงไปด้วย นั่นคือแต่ละส่วนของของไหลจ ะต้องมีความเร่ง หรือความหน่วง แล้วแต่กรณี ของไหลที่อยู่รอบ ๆ ออกแรงกระทำให้เกิดความเร่งนี้ นั่นหมายความว่า ความดันจะต้องมีค่าต่างกันที่ตำแหน่งต่าง ๆ กัน เพราะถ้าความดันเท่ากันหมดทุกที่ แรงสุทธิที่กระทำกับทุก ๆ ส่วนของของไหลจะเป็นศูนย์ ทำให้ไม่เกิดความเร่ง หรืออัตราเร็วจะคงที่ที่ทุกจุดซึ่งขัดแย้งกับข้างต้น เมื่อของไหลส่วนหนึ่งมีอัตราเร็วเพิ่มขึ้น คือไหลเร็วขึ้น มันจะต้องเคลื่อนที่ มาจากบริเวณที่มีความดันมากกว่า มายังบริเวณที่มีความดันน้อยกว่า เพื่อที่จะทำให้มีแรงสุทธิขนาดหนึ่งในการเร่งมัน สรุปได้ว่าเมื่อพื้นที่หน้าตัดของ flow tube มีการเปลี่ยนขนาด ความดันจะต้องมีค่าเปลี่ยนไปด้วยถึงแม้ว่าทั้งสองบริเวณจะอยู่ที่ระดับสูง เดียวกัน ถ้ามันอยู่คนระดับก็จะยิ่งช่วยเพิ่มความแตกต่างระหว่างความดันที่สองบริเวณ

รูปที่ 1 ส่วนหนึ่งของ flow tube ของของไหลที่กำลังไหล

ต่อไปเราจะแสดงที่มาของสมการของแบร์นูลลี โดยใช้ทฤษฎีของงานและพลังงาน ในการพิจารณาของไหลที่กำลังไหลใน flow tube ดังรูปที่ 1 ของไหลกำลังไหลจากบริเวณที่ 1 ไปยังบริเวณที่ 2 ที่อยู่สูงกว่า อัตราเร็วของการไหลที่บริเวณที่ 1 และ 2 คือ v₁ และ v₂ ตามลำดับ ในช่วงระยะเวลาสั้น ๆ dt ของไหลที่บริเวณที่ 1 เคลื่อนที่ขึ้นได้ระยะทาง และของไหลที่บริเวณที่ 2 เคลื่อนที่ขึ้นได้ระยะทาง ถ้าพื้นที่หน้าตัดที่บริเวณที่ 1 และ 2 คือ A₁ และ A₂ ตามลำดับ จากสมการของความต่อเนื่อง เราจะได้ว่าสำหรับของไหลที่บีบอัดไม่ได้ (ความหนาแน่นคงที่) ปริมาตรของของไหล dV ที่ไหลผ่านพื้นที่หน้าตัดใด ๆ ในช่วงเวลา dt (อัตราการไหล) จะมีค่าคงที่ นั่นคือ

หรือ
จะได้	(1)

พิจารณางานที่ทำบนส่วนของของไหลนี้ในช่วงระยะเวลา dt ถ้าความดันที่บริเวณที่ 1 และ 2 คือ ρ₁ และ ρ₂ ตามลำดับ แรงที่ทำบนพื้นที่หน้าตัดของบริเวณที่ 1 คือ ρ1A1 และที่บริเวณที่ 2 คือ ρ2A₂ ดังนั้นงานสุทธิ dW ที่ทำบนส่วนของของไหล เมื่อของไหลเคลื่อนที่คือ

(2)

เทอมที่สองของสมการ (2) นี้มีเครื่องหมายเป็นลบเนื่องจากแรงที่ทำที่บริเวณที่ 2 มีทิศตรงข้ามกับทิศของการเคลื่อนที่ของของไหล (ของไหลพยายามเคลื่อนที่ ต้านความดันเนื่องจากของไหลด้านขวาที่บริเวณที่ 2)

งาน ที่ทำ dW จะเท่ากับพลังงานกลสุทธิที่เปลี่ยนไป โดยที่พลังงานกลสุทธิ คือผลรวมของพลังงานจลน์กับพลังงานศักย์เนื่องจากแรงโน้มถ่วง พิจารณาที่บริเวณที่ 1 ปริมาตรของของไหล ที่เคลื่อนที่ภายในช่วงเวลา dt คือ นั่นหมายถึงมวลของของไหลปริมาตรนี้คือ ดังนั้นมันมีพลังงานจลน์เท่ากับ ในทำนองเดียวกัน ที่บริเวณที่ 2 ของไหลในส่วนนั้นมีพลังงานจลน์เท่ากับ ดังนั้นพลังงานจลน์สุทธิที่เปลี่ยนไปมีค่าเป็น

(3)

คราวนี้พิจารณาพลังงานศักย์ ที่บริเวณที่ 1 พลังงานศักย์เนื่องจากแรงโน้มถ่วงมีค่าเป็น และที่บริเวณที่สองมีค่าเป็น ดังนั้นพลังงานศักย์เนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่เปลี่ยนไปคือ

(4)

เนื่องจากงานที่ทำ จะเท่ากับพลังงานกลสุทธิที่เปลี่ยนไป นั่นคือ เราจะได้ว่า

	(5)
หรือ	(6)

สมการ (6) นี้คือ สมการของแบร์นูลลี (Bernoulli’s equation) สมการนี้อธิบายว่า งานที่ทำบนปริมาตรหนึ่งหน่วยของของไหล โดยของไหลรอบ ๆ จะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ ที่เปลี่ยนไปกับพลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไป ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรซึ่งเกิดขึ้นระหว่างการไหล เราอาจแปลสมการของแบร์นูลล ีในรูปของความดันก็ได้ เทอมแรกของสมการด้านขวาคือ ผลต่างความดันที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของอัตราเร็วของการไหล เทอมที่สองคือ ผลต่างความดันที่เกิดจากน้ำหนักของของไหล กับผลต่างความสูงที่สองบริเวณ เราอาจเขียนสมการ (6) ใหม่ให้อยู่ในรูปที่ดูสะดวกกว่าดังนี้

(Bernoulli’s equation)

(7)

ตัวห้อยเลข 1 และ 2 แทนตำแหน่งสองตำแหน่งใด ๆ ใน flow tube ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า

(8)

สมการของแบร์นูลลีมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาการไหลในลักษณะต่าง ๆ เช่นเพื่อที่จะคำนวณหาความดัน หรืออัตราเร็วของการไหลที่บริเวณต่าง ๆ ในลำของของไหลหนึ่ง ๆ แต่ต้องระลึกไว้ว่าสมการของแบร์นูลลีใช้ได้เฉพาะกับของไหลอุดมคติที่บีบอัดไม่ได้ และไหลแบบ steady flow เท่านั้น ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงการแก้ปัญหาบางปัญหาโดยใช้สมการของแบร์นูลลี

 

ที่มา จาก http://www.il.mahidol.ac.th/e-media/ap-physics2/lesson11_1.html